Многомерный статистический анализ в экономике

Методы многомерного статистического анализа

Применяют при решении следующих задач:

• исследование зависимости между признаками;
• классификация объектов или признаков, заданных векторами;
• снижение размерности пространства признаков.

При этом результат наблюдений – вектор значений фиксированного числа количественных и иногда качественных признаков, измеренных у объекта [11] .

Сущность многомерного статистического анализа заключается в переходе от первоначальной системы сильно коррелированных между собой экономи­ческих показателей, к новым, уже некоррелированным компонентам или факторам, число которых меньше и вариабельность которых исчерпывает всю или максимально возможную часть вариабельности исходных показате­лей. Этим целям в полной мере отвечает метод компонентного анализа, кото­рый в свою очередь один из методов факторного анализа.

В задачах снижения размерности и классификации обычно используются т первых компонент, причем т

Полученные главные компоненты позволяют классифицировать множест­во исходных признаков на группы, обобщающими показателями которых и являются главные компоненты. Для оценки уровня экономической безопас­ности государства применение компонентного анализа весьма удобно.

Особенность данного метода в том, что первая компонента определена таким образом, что основная доля информации содержится именно в ней (дисперсия в направлении этой компоненты максимальна), вторая компонен­та определяется аналогичным образом при условии, что ее ось перпендику­лярна первой.

Коротко содержание подобной оценки заключается в следующем.

Отбирается любое количество социально-экономических показателей для значительного количества стран мирового сообщества с тем условием, чтобы эти показатели были едины для этих стран, сопоставимы и относились к од­ному периоду времени.

Методом компонентного анализа находятся две главные компоненты, ре­шающую роль среди которых играет первая компонента, и расположение стран на ее шкале будет отражать состояние экономики.

Проранжируем страны по первой компоненте. В связи с тем, что в реаль­ной действительности исследуемые показатели, как правило, достаточно сильно коррелируют между собой, с целью самопроверки целесообразно провести кластерный анализ, но уже не по исходным показателям, и даже не по стандартизованным показателям, а по рассчитанным на их основе глав­ным компонентам, которые в отличие от исходных признаков ортогональны, т.е. независимы и не коррелируют между собой; в данном случае правомерно применение Евклидовой метрики, но лучше не простой, а взвешенной.

Имея для каждой страны фактические данные по результатам ее рейтинга и оцениваемым экономическим показателям за несколько лет (с учетом России только с 1991 г.) и повторяя уже только для нее регрессионный анализ за эти годы, можно получить уравнение, характеризующее уровень состояния экономики в будущем в зависимости от прогнозируемых значений независи­мых экономических показателей, т.е. уровень экономической безопасности.

Более точный прогноз можно сделать, применяя факторный анализ для ста­тистических данных конкретной страны (предыдущих занятых мест в эконо­мике мира, своих реальных и прогнозируемых экономических показателей), вычислив прогнозируемые для следующего периода значения, как правило, не более двух факторов, которые, однако; будут содержать информацию, заклю­ченную уже не в двух компонентах, а в значительно большем их количестве.

Регрессионное уравнение может принимать вид уравнения производст­венной функции Кобба-Дугласа или ей подобной, например уравнения вто­рого закона термодинамики (уравнения функции энтропии), так как они обе характеризуют состояние системы и не зависят от предыдущего процесса.

Полученные уравнения (функции) при их соответствующем практическом наполнении позволят измерять (оценивать) экономическую безопасность России и прогнозировать ее состояние:

1) если уровень экономической безопасности не находится в существенной зависимости от преднамеренных или случайных событий, то национальная экономика в безопасности;

2)если уровень экономической безопасности уменьшается при воздействии внешних и внутренних факторов и их воздействие невозможно нейтрализовать, то национальная экономика находится в опасном состоянии.

Кризисное и предкризисное значения уровня экономической безопасности могут быть определены только после выполнения определенного количества практических работ.

Каждый из названных методов формализации решений по оценке экономической безопасности страны имеет свои достоинства и недостатки, которые проявляются в той или иной степени в зависимости от располагаемого материала, вычислительных возможностей ЭВМ и наличия соответствующе­го программного обеспечения. Поэтому наиболее эффективным является со­вместное использование этих методов с оперативным, гибким подключением конкретного метода в зависимости от решаемой задачи.

Многомерный статистический анализ — раздел математической статистики, объединяющий методы изучения статистических данных, которые являются значениями многомерных качественных или количественных признаков. Включает дискриминантный анализ, кластер-анализ и другие математико-статистические методы, как правило, не опирающиеся на предпосылку о вероятном характере исследуемых зависимостей. Кластер-анализ позволяет разбивать исследуемую совокупность элементов (координаты которых известны) таким образом, чтобы элементы одного класса находились на небольшом расстоянии друг от друга, в то время как разные классы были бы на достаточном удалении друг от друга и не разбивались бы на столь же взаимоудаленные части.

Многомерный статистический анализ — раздел математической статистики, развивающий математические методы выявление характера и структуры взаимосвязей явлений, характеризующихся большим количеством различных свойств.

Обычно для проведения анализа используются результаты измерения компонент многомерного признака для каждого объекта из исследуемой совокупности.

Вместе с тем, проблема изучения экономического развития территорий по своей природе многомерны, что усложняет проблему обобщающей количественной оценки региональных различий уровней экономического и социального развития. Традиционно многомерные задачи решаются методами многомерного статистического анализа, нашедшими широкое применение в психологии, социологии, экономике и др.

Многомерный статистический анализ: сущность и виды;

Пример

Имеются данные о выпуске продукции группой предприятий по месяцам (млн. руб.):

Для выявления общей тенденции роста выпуска продукции произведем укрупнение интервалов. Для этой цели исходные (месячные) данные о выработке продукции объединяем в квартальные и получаем показатели выпуска продукции группой предприятий по кварталам:

В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выпуска продукции данной группой предприятий выступает отчетливо:

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести также путем сглаживания ряда динамики с помощью метода скользящей средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.

Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дают теоретических закономерностей (моделей) рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность и это позволяло бы не только выполнить анализ, но и прогнозировать динамику ряда на будущее.

Значительно более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усреднённо с помощью определенных математических функций. Путем теоретического анализа выявляется характер развития явления, и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, по параболе второго порядка, показательной (логарифмической) кривой и т.п.

Очевидно, что уровни временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов, в т.ч. различного рода случайностей. Изменение условий развития явления приводит к более или менее интенсивной смене самих факторов, к изменению силы и результативности их воздействия и, в конечном счете, к вариации уровня изучаемого явления во времени.

Многомерный статистический анализ — раздел статистики математической, посвященный математическим методам, направленным на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака и предназначенным для получения научных и практических выводов. Исходным массивом многомерных данных для проведения такого анализа обычно служат результаты измерения компонент многомерного признака для каждого из объектов исследуемой совокупности, т.е. последовательность многомерных наблюдений. Многомерный признак чаще всего интерпретируется как многомерная величина случайная, а последовательность многомерных наблюдений — как выборка из генеральной совокупности. В этом случае выбор метода обработки исходных статистических данных производится на основе тех или иных допущений относительно природы закона распределения изучаемого многомерного признака.

По содержанию многомерный статистический анализ может быть условно разбит на три основных подраздела:

1. Анализ многомерных распределений и их основных характеристик охватывает ситуации, когда обрабатываемые наблюдения имеют вероятностную природу, т.е. интерпретируются как выборка из соответствующей генеральной совокупности. К основным задачам этого подраздела относятся: оценивание статистическое исследуемых многомерных распределений и их основных параметров; исследование свойств используемых статистических оценок; исследование распределений вероятностей для ряда статистик, с помощью которых строятся статистические критерии проверки различных гипотез о вероятностной природе анализируемых многомерных данных.
2. Анализ характера и структуры взаимосвязей компонент исследуемого многомерного признака объединяет понятия и результаты, присущие таким методам и моделям, как анализ регрессионный, анализ дисперсионный, анализ ковариационнй, анализ факторный, анализ латентно-структурный, анализ логлинейный, поиск взаимодействий. Методы, принадлежащие к этой группе, включают как алгоритмы, основанные на предположении о вероятностной природе данных, так и методы, не укладывающиеся в рамки какой-либо вероятностной модели (последние чаще относят к методам анализа данных).

3. Анализ геометрической структуры исследуемой совокупности многомерных наблюдений объединяет понятия и результаты, свойственные таким моделям и методам, как анализ дискриминантный, анализ кластерный, шкалирование многомерное. Узловым для этих моделей является понятие расстояния, либо меры близости между анализируемыми элементами как точками некоторого пространства. При этом анализироваться могут как объекты (как точки, задаваемые в признаковом пространстве), так и признаки (как точки, задаваемые в объектном пространстве).

Прикладное значение многомерного статистического анализа состоит в основном в обслуживании следующих трех проблем:

— проблемы статистического исследования зависимостей между рассматриваемыми показателями;

— проблемы классификации элементов (объектов или признаков);

— проблемы снижения размерности рассматриваемого признакового пространства и отбора наиболее информативных признаков.

Многомерный статистический анализ. Статистическое моделирование

Онлайн школа английского языка нового поколения. Более 7 лет предоставляет обучение английскому языку по Skype (Скайп) и является лидером данного направления! Основные преимущества:

• Вводный урок бесплатно;
• Большое число опытных преподавателей (нейтивов и русскоязычных);
• Курсы НЕ на определенный срок (месяц, полгода, год), а на конкретное количество занятий (5, 10, 20, 50);
• Более 10 000 довольных клиентов.
• Стоимость одного занятия с русскоязычным преподавателем — от 600 рублей, с носителем языка — от 1500 рублей

Как уже отмечалось, в XX в. появился ряд методов, объеди­ненных общим понятием — многомерный статистический анализ (МСА). Методы МСА направлены на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемых много­мерных данных. Как правило, методы МСА не опираются на предпосылку о вероятностном характере исследуемых свойств. Они составляют основу современного направления развития при­кладной статистики, называемого анализом данных. Если пред­ставить исходные данные в виде матрицы, строки которой соот­ветствуют числу единиц, а столбцы — переменным, то современ­ные методы МСА —это объединение строк и столбцов матрицы исходных данных. В МСА реализуется принцип «экономии мыш­ления».

Способы «свертки» столбцов матрицы данных, т. е. перехода от исходных признаков к их линейным комбинациям, зародили, в начале века, когда возникли метод главных компонент в биометрии (К. Пирсон, 1901) и факторный анализ — в психологии (Ч. Спнрмэн, 1904). Однако детальная проработка этих и других, методов МСА относится к 30-м годам. В это время Хотеллингом (1933) были разработаны процедуры выделения главных компонент, создан метод канонической корреляции.

В социально-экономических исследованиях широкое примене­ние МСА началось лишь в 50—60-х годах.

Одним из важнейших методов МСА является многомерная классификация, т. с. совокупность математических методов разде­ления заданного множества объектов на группы, состоящие из «похожих» друг на друга объектов. Французский исследователь Р. Триопон (1939) процедуру разбиения данных в многомерном пространстве признаков назвал кластер-анализом. Если опреде­лять кластер-анализ с позиций теории распознавания образов, то его можно назвать задачей «распознавания без учителя» (так как обучающие выборки отсутствуют и не возникает вопрос о распоз­навании новых объектов).

Многомерная классификация может производиться как в пространстве исходных признаков, так и их линейных комбинаций (главных факторов или главных компонент).

Скорость разработки и внедрения методов многомерного анализа во многом определялась не только практическими потребностями обработки массивов большой размерности, и успехами развития вычислительной техники. Появление во второй половине 40-х годов ЭВМ стимулировало научные исследования, в том числе и в статистике. В 60—80-е годы темпы развития ЭВМ ускорились, вычислительная техника стала применяться во всех отраслях человеческой деятельности. Соответственно повысился уровень программного обеспечения, появились пакеты прикладных программ, в частности включающие процедуры МСА, Дальнейшее развитие методов МСА связано с широким использованием персо­нальных компьютеров.

Кластер-анализ осуществляется в человеко-машинном режиме; разработаны и процедуры автоматической (машинной) классифи­кации данных.

Углубление представлений о свойствах статистических сово­купностей привело к возникновению новых идей в задаче класси­фикации. Одной из наиболее отвечающих реальным свойствам объектов является концепция размытых множеств, выдвинутая, американским математиком Л. Заде в 60-х годах. Он показал, что реальные системы, как правило, обладают настолько «пло­хой» структурой, что наши суждения о том или ином состоянии пли поведении в действительности относятся не к тому или иному конкретному (единичному) состоянию, а к совокупности трудно различимых между собой состояний, границы между которыми часто нельзя четко и однозначно установить. Применительно к проблеме классификации это означает, что необходимо чтобы алгоритмы классификации были основаны на представлении о классе как о размытом, нечетком множестве объектов, для кото­рых переход от принадлежности к данному классу к непринад­лежности, скорее, постепенный, чем резкий.

В последние годы самое разнообразное широкое применение в социальных науках находит раздел МСА — многомерное шкали­рование (для экономного описания данных — понижения размер­ности, их модельного представления). Развитие этого метода свя­зано прежде всего с именами американских ученых Р. В. Хеммик-га. Л. Гуттмана, Л. Терстоуна.

Для решения задачи разделения совокупности наблюдений, когда требуется приписать некоторый новый объект к той или иной совокупности на основе «обучающей выборки», разработан метод дискриминантного анализа.

Существенным вкладом в многомерный непараметрический анализ явилось создание латентно-структурного анализа амери­канским статистиком и социологом Паулем Лазарсфель-Лом (1901 —1976), а также разработка моделей частот таблиц сопряженности, в частности логарифмически линейных моделей, предложенных в 60-х годах американцем Лео Гудманом. В 30-е годы в Кембриджском университете началось развитие ряда ме­тодов статистического анализа сложных структур неколичественных переменных па основе аддитивного разложения теста x2 (включая применение канонической корреляции в анализе таблиц сопряженности).

Развитие МСА во многом способствовало созданию новой науки — эконометрии. Ее предметом является изучение количествен­ной стороны экономических явлений и процессов средствами ма­тематического и статистического анализа. Термин «эконометрия» был предложен в 1910 г. польским ученым Павлом Цьомпой а введен в науку норвежцем Рагнаром Фришем. В 1930 г было создано Международное эконометрическое общество с цент­ром в Иельском университете (США), в 1933 г. стал издаваться журнал «Эконометрика». Хотя эконометрия как особая дисципли­на появилась сравнительно недавно, корни ее уходят глубоко в историю математической формализации экономики и тех отделов математической статистики, которые применяются в анализе эко­номических данных. Так как первые попытки измерения в эконо­мике принадлежат политическим арифметикам, то можно назвать эконометрию политической арифметикой XX в. Одно из ведущих направлений эконометрии — построение эконометрических моделей, задача которых состоит в проверке экономических теории па фак­тическом (эмпирическом) материале при помощи методов мате­матической статистики. Часто эконометрические модели представляют собой множественную регрессию пли систему регрессий.

В 30-е годы XX п. увлечение многофакторным регрессионным анализом сменилось разочарованием исследователей. Строя от­дельные уравнения множественной регрессии, они часто получали бессмысленные результаты, которые прежде всего проявлялись в несоответствии знаков коэффициентов регрессии априорным предположениям. Причина этого в том, что изолированно взятое уравнение регрессии есть не что иное, как модель «черного ящи­ка», поскольку в ней не раскрыт механизм зависимости выходной переменной у от входных переменных Хi, а лишь констатируется факт наличия такой зависимости. Для проведения правильного анализа нужно знать всю совокупность связей между переменны­ми. Одним из подходов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, разработанный в 1934 г. Фришем. Он предложил изучение целой иерархии регрессий между всеми сочетаниями переменных. При этом каждая переменная рассматривалась как зависимая от всех возможных подмножеств переменных, а также от всего множества переменных. Анализируя регрессии с разным числом переменных. Фриш обнаружил «эффект деградации» ко­эффициентов регрессии. Он проявляется в том, что если в регрес­сию включается много переменных, имеющих линейные связи друг с другом (мультиколлинеарные переменные), то коэффициенты регрессии имеют тенденцию возвращаться к тем значениям, ко­торые они имели в уравнении с меньшим числом переменных. Например, при четырех переменных, вводя разное их число в анализ, Фриш подучил следующие коэффициенты регрессии для связи между х1 и х2; Ь12 = —0,120; b12.4 = 0,919; b12.3 = — 0,1 12. Это позволило ему сделать вывод о наличии какого-то оптимального круга переменных, выход за который не улучшает коэффициенты регрессии, делает их неустойчивыми. На основе изменения коэф фициентов регрессии Ь и множественного коэффициента детер­минации Яг он разделил все переменные на полезные, лишние и вредные. Переменная считалась полезной, если ее включение зна­чительно повышало Я2; если этого не происходило и ввод новой переменной не изменял коэффициентов регрессии при других пере­менных, то она рассматривалась как лишняя; если добавляемая переменная сильно изменяла &; без заметного повышения R2, то переменная относилась к вредным.

Методы корреляций и регрессий создавались как методы опи­сания совместных изменений двух и более переменных. Совмест­ные изменения переменных могут не означать наличия причинных связей между ними. Потребность в причинном объяснении корре­ляции привела американского генетика Севалла Райта к соз­данию метода путевого анализа (1910-1920) — одной из разно­видностей структурного моделирования. Путевой анализ основан на изучении всей структуры причинных связей между переменны- .. ми: построении графа связен и изоморфной ему рекурсивной системы уравнений. Центральное положение его состоят в том, что оценки стандартизированных коэффициентов рекурсивной системы уравнений, которые интерпретируются как коэффициенты: влияния (путевые коэффициенты) рассчитываются на основе ко­эффициентов парной корреляции. Это позволяет проанализировать структуру корреляционной связи с точки зрения причинности. Каждый коэффициент парной корреляции рассматривается как мера полной связи двух переменных. Путевой анализ позволяет разложить величину этого коэффициента на четыре компоненты: 1) прямое влияние одной переменной на другую (в этом случае в причинной цепи между одной и другой переменными нет проме­жуточных звеньев); 2) косвенное влияние — передача воздействия одной переменной на другую через посредство переменных, специфицированных в модели как промежуточное звено в причинной цепи, связывающей изучаемые переменные; 3) непричинная ком­понента, объясняемая наличием общих причин; 4) непричинная компонента, зависящая от не анализируемой в модели корреляции входных переменных. В том случае, если компоненты прямого и косвенного причинного влиянии равны нулю, корреляция явля­ется ложной.

Таким образом, путевой анализ Райта позволил прояснить проблему ложной корреляции, которой занимались многие видные статистики, начиная с К. Пирсона.

Последующее развитие путевого анализа привело к переносу центра тяжести в постановке задачи моделирования с оценки параметров модели на поиск структуры связей между элементами системы, адекватной эмпирическим данным. Американскими уче­ными Г. Сайманом и Г. Блейлаком в 50—60-е годы была разработана процедура верификации выдвинутых гипотез о при­чинных связях и решения задач их селекции. Основная идея про­цедуры в том, что рекурсивная модель, которая не воспроизводит эмпирические корреляции, должна быть отвергнута.

Тем самым статистика активно влияет на развитие теории изучаемого объекта, стимулирует ее развитие. Вместе с тем, в формировании экономической теории опасно становиться и формальные позиции. Как отмечал В. И. Ленин: «Схемы сами по себе ничего доказывать не могут; они могут только иллюстрировать процесс, если его отдельные элементы выяснены теоретически» (Полн. собр. соч. Т. 4. С. 52).

Путевой анализ долго оставался вне социальных исследовании и только с 60-х годов стал широко применяться социологами. Путевой анализ, как и другие методы структурного анализа, предполагает, что дополнительно введенная инструментальная переменная рекурсивно связана с основной переменной. Общий метод для оценивания коэффициентов нерекурсивных систем предложен голландским эконометрикой Генри Тейлом — двухшаговый метой наименьших квадратов (1950). Дальнейшее развитие этот метод получил при разработке А. Цельнером и Г. Тейлом трехшагового метода наименьших квадратов (1957).

Значительное место в эконометрии занимает теория случайных
процессов, в разработку которой большой вклад внес Дж. фон
Нейман. В этой области широко распространен метод Монте-Карло (1949). Он основан на кибернетической идее «черного ящика»
и состоит в том, что исследуемый процесс моделируется путем
многократных повторений его случайных реализаций. Этот метод
предназначен для тех случаев, когда построение аналитической
модели трудно или невозможно, например, при решении задач,
теории массового обслуживания.

Эконометрические методы применяются на разных уровнях.
При описании экономики той или иной страны строится система
моделей, включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения
характеризующие движение занятости, доходов, цен, процентный
ставок и другие блоки.

Производственная функция была построена впервые в 1929г. Коббом и Дугласом при анализе развития обрабатывающей промышленности США за период 1899—1922 гг.

Многомерный статистический анализ в экономике

Социальные и экономические объекты, как правило, характеризуются достаточно большим числом параметров, образующих многомерные векторы, и особое значение в экономических и социальных исследованиях приобретают задачи изучения взаимосвязей между компонентами этих векторов, причем эти взаимосвязи необходимо выявлять на основании ограниченного числа многомерных наблюдений.

Многомерным статистическим анализом называется раздел математической статистики, изучающий методы сбора и обработки многомерных статистических данных, их систематизации и обработки с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака, получения практических выводов.

Отметим, что способы сбора данных могут различаться. Так, если исследуется мировая экономика, то естественно взять в качестве объектов, на которых наблюдаются значения вектора X, страны, если же изучается национальная экономическая система, то естественно наблюдать значения вектора X на одной и той же (интересующей исследователя) стране в различные моменты времени.

Такие статистические методы, как множественный корреляционный и регрессионный анализ, традиционно изучаются в курсах теории вероятностей и математической статистики [3, 14], рассмотрению прикладных аспектов регрессионного анализа посвящена дисциплина «Эконометрика» [3,18].

Другим методам исследования многомерных генеральных совокупностей на основании статистических данных посвящено данное пособие.

Методы снижения размерности многомерного пространства позволяют без существенной потери информации перейти от первоначальной системы большого числа наблюдаемых взаимосвязанных факторов к системе существенно меньшего числа скрытых (ненаблюдаемых) факторов, определяющих вариацию первоначальных признаков. В первой главе описываются методы компонентного и факторного анализа, с использованием которых можно выявлять объективно существующие, но непосредственно не наблюдаемые закономерности при помощи главных компонент или факторов.

Методы многомерной классификации предназначены для разделения совокупностей объектов (характеризующиеся большим числом признаков) на классы, в каждый из которых должны входить объекты, в определенном смысле однородные или близкие. Такую классификацию на основании статистических данных о значениях признаков на объектах можно провести методами кластерного и дискриминантного анализа, рассматриваемыми во второй главе (Многомерный статистический анализ с использованием “STATISTICA”).

Развитие вычислительной техники и программного обеспечения способствует широкому внедрению методов многомерного статистического анализа в практику. Пакеты прикладных программ с удобным пользовательским интерфейсом, такие как SPSS, Statistica, SAS и др., снимают трудности в применении указанных методов, заключающиеся в сложности математического аппарата, опирающегося на линейную алгебру, теорию вероятностей и математическую статистику, и громоздкости вычислений.

Однако применение программ без понимания математической сущности используемых алгоритмов способствует развитию у исследователя иллюзии простоты применения многомерных статистических методов, что может привести к неверным или необоснованным результатам. Значимые практические результаты могут быть получены только на основе профессиональных знаний в предметной области, подкрепленных владением математическими методами и пакетами прикладных программ, в которых эти методы реализованы.

Поэтому для каждого из рассматриваемых в данной книге методов приводятся основные теоретические сведения, в том числе алгоритмы; обсуждается реализация этих методов и алгоритмов в пакетах прикладных программ. Рассматриваемые методы иллюстрируются примерами их практического применения в экономике с использованием пакета SPSS.

Пособие написано на основе опыта чтения курса «Многомерные статистические методы» студентам Государственного университета управления. Для более подробного изучения методов прикладного многомерного статистического анализа рекомендуются книги [1

Предполагается, что читатель хорошо знаком с курсами линейной алгебры (например, в объеме учебника [10] и приложения к учебнику [18]), теории вероятностей и математической статистики (например, в объеме учебника [14]).