Функция предельного продукта капитала

Тема 3. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

7. Распределение национального дохода по факторам производства

Рассмотрим неоклассическую теорию распределения НД между факторами производства.

Распределение НД определяется ценами на факторы производства. Цена каждого фактора производства определяется спросом и предложением на рынке. Теория исходит из предположения, что количество факторов производства в экономике неизменно. Типичная фирма, действующая на рынке и предъявляющая спрос на факторы производства, является конкурентной.

Конкурентная фирма – это фирма, которая мала по сравнению с рынками, и поэтому практически не оказывает влияния на цены.

Для производства продукции фирме требуются два фактора – труд (L) и капитал (K). Фирма продает свою продукцию по цене P, платит работникам зарплату W и арендует капитал по цене R.

Целью фирмы является максимизация прибыли.

Прибыль = Выручка – Затраты на труд – Затраты на капитал

Прибыль = PY – WL – RK.

Подставим в уравнение производственную функцию:

Прибыль = PF(K, L) — WL – RK.

Это уравнение показывает, что прибыль зависит от цены на продукцию (P) и цен на факторы производства (W, R), а также от количества факторов (K, L). Конкурентная фирма принимает цены на продукцию и на факторы производства как данные и выбирает такие количества капитала и труда, которые максимизируют прибыль.

Чем больше труда фирма использует в процессе производства, тем больше продукции она производит.

Предельный продукт труда (MPL) – это дополнительное количество произведенной продукции в результате использования дополнительной единицы труда.

Большинство производственных функций обладают свойством убывающего предельного продукта. При постоянной величине используемого капитала предельный продукт каждой дополнительной единицы труда убывает.

Когда фирма решает, нанимать или не нанимать дополнительную единицу труда, она думает, как это повлияет на ее прибыль. Она сопоставляет дополнительную выручку от выпуска дополнительной продукции с величиной увеличения затрат на зарплату. Пока дополнительные поступления превышают ставку зарплаты, дополнительная единица труда увеличивает прибыль.

Спрос фирмы на труд определяется равенством:

W/P – это реальная зарплата за труд, выраженная в единицах произведенной продукции. Для того, чтобы максимизировать прибыль, фирма нанимает работников до тех пор, пока предельный продукт труда не станет равен реальной зарплате.

Решение о том, сколько использовать капитала, фирма принимает таким же образом, как и решение о количестве используемого труда.

Предельный продукт капитала (MPK) – это дополнительное количество произведенной продукции в результате использования дополнительной единицы капитала.

Спрос фирмы на капитал определяется равенством:

R/P – это реальная рента, выраженная в единицах произведенной продукции. Для того, чтобы максимизировать прибыль, фирма будет приобретать дополнительное оборудование до тех пор, пока предельный продукт капитала не снизится до реальной цены капитала.

Общее правило: фирма предъявляет спрос на каждый из факторов производства до тех пор, пока предельный продукт этого фактора не сравняется с реальной ценой на него.

Если все фирмы в экономике являются конкурентными и максимизирующими прибыль, тогда на каждый из факторов производства приходится ровно столько, сколько предельного продукта он добавляет к общему объему выпускаемой продукции. Другими словами, реальная зарплата каждого работника равна MPL, а компенсация издержек на оборудование равна MPK.

Доход, остающийся в распоряжении фирм после того, как они оплатили расходы на все факторы производства, называется экономической прибылью собственников фирм.

Экономическая прибыль = Y – MPL*L – MPK*K.

Из равенства следует, что НД (Y) распределяется на доход работников, доход собственников капитала и экономическую прибыль.

В 1927г. Пол Дуглас (сенатор штата Иллинойс) заметил, что распределение НД между капиталом и трудом почти не изменяется с течением времени. Другими словами, по мере роста производства, как рабочие, так и собственники капитала равным образом пользуются благами возросшего процветания экономики. Это наблюдение заставило Дугласа задуматься о причинах постоянства долей факторов производства.

Дуглас обратился к математику Чарльзу Коббу, в результате появилась производственная функция Кобба-Дугласа:

где А – положительный параметр, измеряющий производительность существующей технологии;

α – постоянная от 0 до 1, измеряющая долю капитала в доходе;

(1 – α) – доля труда в доходе.

Отношение дохода труда к доходу капитала [(1 – α)/ α] постоянно, что и обнаружил Дуглас. Доли факторов производства зависят только от параметра α и не зависят ни от количества факторов, ни от уровня применяемой технологии.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Предельный продукт — капитал

Предельный продукт капитала ( marginal product of capital) — прирост производства това-рои и услуг, которые могут быть потреблены в будущем, возникающий от дополнительной единицы капитальных благ в настоящем. [1]

МРК — предельный продукт капитала , т.е. продукт, полученный от использования дополнительной единицы капитала. Этот показатель изменяется в соответствии с законом убывающей отдачи. [2]

Знаменатель этой дроби есть предельный продукт капитала , равный I1 /, а согласно уравнению ( 4 — 1), предельный продукт капитала равен единице плюс доходность от сбережения. [3]

Конкретно, единица плюс доходность от сбережения равняется предельному продукту капитала в условиях равновесия. Таким образом, доходность от сбережения должна быть такой, чтобы сбережения и инвестиции были равны. [4]

Если потребительский товар одновременно является капитальным благом, каков предельный продукт капитала для каждого из графиков множества потребительских / производственных возможностей I и II. Снова будьте аккуратны в выборе единиц. [5]

Кратко объясните, почему угловой коэффициент этой функции является предельным продуктом капитала . Постройте график предельного продукта труда ( МРп), который соответствует данной производственной функции. [6]

Если доходность от сбережения у экономиста составляет 0 25, каков предельный продукт капитала на его острове. [7]

Это значит, что технический прогресс сопровождается увеличением предельного продукта труда по сравнению с предельным продуктом капитала . [8]

Уравнение (6.2) говорит о том, что для отдельной изокванты непрерывное замещение капитала трудом в производственном процессе приводит к росту предельного продукта капитала и уменьшению предельного продукта труда. Общим результатом обоих изменений является тенденция к снижению предельной нормы технического замещения и выравниванию изокванты. [10]

Знаменатель этой дроби есть предельный продукт капитала, равный I1 /, а согласно уравнению ( 4 — 1), предельный продукт капитала равен единице плюс доходность от сбережения. [11]

Последнее значит, что оптимум предприятия достигается в том случае, когда отношение предельного продукта труда к цене труда равно отношению предельного продукта капитала к цене капитала, или, иначе, когда последняя денежная единица, израсходованная на труд, даст тот же прирост выпуска, что и последняя денежная единица, израсходованная на капитал. [12]

Капитальные блага — это товары, которые могут быть использованы для производства других товаров и услуг в будущем. Предельный продукт капитала — это величина, на которую возрастает объем производства товаров и услуг в будущем от дополнительной единицы капитальных благ. [13]

Предположим теперь, что ананасы поразила болезнь и их половина оказалась непригодной ни для еды, ни для посадки. Если предельный продукт капитала остается равным 1 / 2, то каково максимальное число ананасов, которое экономист может иметь для потребления во втором месяце. [14]

Предельная норма технологического замещения. Предельные продукты труда и капитала. Закон убывающей предельной производительности;

Количественной характеристикой способности замещения факторов производства есть предельная норма технологического замещения (MRTS). При замещении капитала трудом, MRTS_LK показывает объем капитала, который может быть замещен одной дополнительной единицей труда при сохранении постоянного объема выпуска.

,

где MP_L – предельный продукт труда;

MP_K – предельный продукт капитала.

Предельный продукт труда (MP_L) показывает, как изменяется объем выпуска с увеличением использования труда на одну единицу.

Предельный продукт капитала (MP_K)показывает, как изменяется объем выпуска с увеличением использования капитала на одну единицу.

При замещении труда капиталом MRTS_KL показывает объем труда, который может быть замещен одной дополнительной единицей капитала при сохранении постоянного объема выпуска.

По мере увеличения применения капитала, MP_K сокращается, и это уменьшает числитель уравнения, а MP_L имеет тенденцию к повышению, что увеличивает знаменатель уравнения. Оба этих эффекта приводят к тому, что MRTS_KL уменьшается по мере замещения труда капиталом.

Процесс трансформации ресурсов (L, K, M) в готовую продукцию характеризируется показателями совокупного и среднего продуктов.

Если все факторы производства, кроме одного (L) являются постоянными, то совокупный продукт переменного фактора производства (TP_L) определяется как объем выпуска продукции при определенном использовании труда (L) и постоянных объемах всех других факторов.

TP_K – совокупный продукт капитала.

Средний продукт переменного фактора производства (труда – AP_L, капитала – AP_K) – это отношение совокупного продукта переменного фактора к объему фактора, обеспечившего объем выпуска.

Эти показатели называются также продуктивность труда и продуктивность капитала.

Если построить график реакции выпуска продукции на изменение одного переменного фактора – труда (L) то будет очевидно, что, начиная с определенного момента, увеличение количества рабочих не приводит к увеличению выпуска на одного дополнительного рабочего, так как остальные факторы – рабочее пространство, оборудование постоянные.

Этот закон известен как закон убывающей предельной производительности или убывающей доходности. Согласно ему по мере увеличения использования одного из факторов производства (труд), при условии, что остальные факторы будут оставаться неизменными (земля, капитал), в определенный момент будет достигнута точка, за которой предельный физический продукт труда будет уменьшаться.

Это означает, что увеличение объема выпуска ограничено, если изменяется только один фактор. Точка, для которой предельная производительность уменьшается – это граница использования переменного фактора, после которой его предельный продукт начинает уменьшаться.

Примером действия закона убывающей предельной производительности может быть выращивание картофеля на приусадебном участке. Если вдвое увеличить количество часов работы на нем, количество урожая картошки вырастет в меньшей пропорции. Если бы такой зависимости не существовало, то весь мировой урожай картофеля можно было бы вырастить на этом приусадебном участке.

Выяснение динамики объемов производства в зависимости от динамики переменного фактора для конкретного производства имеет важное практическое значение. Оно используется, прежде всего, для определения пределов, в которых целесообразно осуществлять производство с точки зрения рационализации использования факторов. Для краткосрочного периода можно выделить три стадии производства:

первая стадия: от начала производства до достижения средним продуктом максимального значения. Она характеризируется излишком капитала и недостачей труда, что приводит к перерасходу ресурсов и, как правило, к убыткам предприятия;

вторая стадия: от максимального значения среднего продукта до достижения нулевого значения предельного продукта. Эта стадия наиболее притягательна для производителя, так как достигается нормальная сбалансированность факторов производства;

третья стадия: после достижения предельным продуктом нулевого значения. На ней производство стает перенасыщенным трудом и чаще всего приводит к убыткам производителя.

Другой сферой использования рассматриваемых закономерностей может быть принятие решений по оптимизации структуры затрат на производство. Допустим, что существует два участка, которые производят одинаковую продукцию. Как, маневрируя перераспределением, фиксированным количеством труда между ними в краткосрочном периоде достичь больших объемов производства?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует сравнить предельные продукты переменного фактора на этих двух участках. Если при определенном распределении труда между участками MP₁ > MP₂, то ресурсы нужно перераспределить в пользу первого участка, если же соотношение противоположное MP₁

3.6 Производственная функция

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

В данном случае можно или минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$, или максимизировать объем выпуска при данном уровне издержек.

Воспользуемся методом 2:

Как уже не раз случалось, мы опять встречаем функцию, зависящую от двух переменных. Зафиксируем $TC$, выразим $L$ через $K$:

Что касается производственной функции — зафиксируем $Q$, выразим $L$ через $K$:

Имеем схожую ситуацию с задачей максимизации полезности, только в данном случае у нас цель — максимизировать объем выпускаемой продукции:

Возьмем производную обеих функций по $L$, найдем точку, в которой они равны, найдем точку касания графиков

(Почему именно касания? Если бы мы выбрали более низкий уровень $Q^*$, то мы получили бы более низкую производственную функцию, произвели бы меньше продукции с теми же издержками:

Если мы бы выбрали слишком высокий уровень $Q$, то данный объем производства был бы недостижим при данном уровне издержек:

Подставим в производственную функцию, выразим $K$:

Теперь подставим $L$ и $K$ в функцию издержек, $Q$ снова является переменной:

Пример 2
Производственная функция является линейной: $Q=2L+K$, $w=4$, $r=1$, $TC(Q)-?$

Действовать будем в целом аналогично предыдущему варианту, но в этот раз попробуем использовать метод 1: будем минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$:

Имеем 2 линейные функции, будем двигать функцию издержек вниз, пока она не достигнет оптимального положения:

(Если мы выберем более высокий уровень издержек, то вступим нерационально — такой же объем выпуска при больших издержках. Зачем? Если выбрать более низкий уровень издержек, то невозможно будет произвести нужный объем продукции) .

Оптимальное положение будет достигнуто в точке, где количество капитала максимально, а труда равно нулю. Тогда:

Эффект масштаба показывает во сколько раз изменится $Q$ после увеличения всех используемых ресурсов в одинаковое число раз $t$ по сравнению с первоначальным $Q$, увеличенным в $t$ раз.

Если $Q_<новое>(tL;tK) > tQ(L;K)$, то эффект масштаба положительный, если $Q_<новое>(tL;tK)=tQ(L;K)$, то постоянный, если $Q_<новое>(tL;tK) 1$, следовательно эффект масштаба положительный

TP — total product (он же Q), общий продукт труда — показывает зависимость объема выпуска продукции от количества переменного ресурса при прочих равных условиях.

i участок — функция растет ускоряющимся темпом, при найме каждого последующего работника объем выпуска увеличивается на все большую и большую величину;
ii участок — функция растет замедляющимся темпом, при найме каждого дополнительного работника объем выпуска увеличивается на все меньшую величину;
iii участок — $TP$ убывает. При производстве товара может наступить такой момент, когда дополнительная единица переменного ресурса (труда обычно) уже не способствует увеличению производимой продукции. Дополнительно нанятый работник может только мешать. Например, если у нас имеется всего один станок, и мы наняли 50 рабочих, то они будут только мешать друг другу, стопившись у этого единственного механизма.

$AP_(L)$ average product, средний продукт (труда) — показывает, сколько в среднем единиц продукции приходится на одну единицу переменного ресурса:

Геометрический смысл среднего среднего продукта труда такой же как и у других средних величин — тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат (секущей) к точке на графике общего продукта труда.

$MP_(L)$ — marginal product, предельный продукт (труда) — показывает прирост общего продукта при увеличении переменного ресурса на единицу.

В дискретном случае $MP_L=dfrac$.

Геометрический смысл предельного продукта в данном случае — тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(L_1;TP_1)$ и $(L_2;TP_2)$.

Если ресурс бесконечно делим, то $MP_L=TP'(L)$

Геометрический смысл предельного продукта в этой ситуации — тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику $TP$ в интересующей нас нас точке.

Пример 4
$Q(L)=30L-L^2$, найти $AP_L$, $MP_L$

Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

• нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
• расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
• определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, . ,x_n.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Пример . Производственные функции, обладающие свойствами 2 – 5, называются неоклассическими.
Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :

AY_λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY_λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.